Een voorbeeld van het gebruik van statistiek

Gumbel verdeling.

De kansverdeling van extreme waardes kan op verschillende manieren beschreven worden. Voor het voorbeeld wordt de hoogste gemeten waterstand in een niet-bestaande rivier in een jaar gebruikt. Uit deze serie gegevens kun je afleiden hoe vaak bepaalde waterstanden hebben plaatsgevonden. Als je het aantal gebeurtenissen met een bepaalde waarde deelt door het totale aantal dan krijg je de kans op het voorkomen van die waarde. De waardes die in dit voorbeeld gebruikt worden, voldoen aan de “Gumbel verdeling” (zie illustratie). Horizontaal staan de hoogste gemeten rivierwaterstanden per jaar. Vertikaal staat de kans van voorkomen van die waardes.

Deze verdeling is niet symmetrisch. Om nauwkeurig de vorm van de klok te bepalen heb je veel meetgegevens nodig. De hoge extreme waardes die heel weinig voorkomen, verspreiden zich over een lange staart van de klok. Het zijn juist die waardes die interessant zijn voor het bepalen van het overstromingsrisico. Hoe groot is nou de kans dat een gevaarlijke waterstand wordt overschreden? En andersom: als je zegt dat een dijk ontworpen moet worden om een waterstand te kunnen doorstaan waarvan de kans op optreden 1op 100 per jaar is, welke waterstand is dat?

Stel dat de gevaarlijke waterstand in dit geval 70 is. Dan wordt de kans op overschrijding van die waarde bepaald door het oppervlak onder de grafiek vanaf 70 naar het eind toe te berekenen. Die berekening gaat wat ver, maar je kunt je voorstellen dat er een heel klein getal uitkomt. De kans dat een waterstand van meer dan 70 optreedt, is heel klein. Zou nu door bijvoorbeeld een klimaatverandering, of door veranderingen in het bovenstrooms beheer, de hele klok naar rechts opschuiven, dan zou de kans op een gevaarlijk waterstand van meer dan 70 toenemen. Misschien zelfs wel zo dat de betrokken partijen besluiten dat het niet langer veilig genoeg is en de dijk versterkt moet worden.

Iets dergelijks speelt bijvoorbeeld bij de afvoer van de Rijn. Door de verwachte klimaatverandering zal de afvoer toenemen. Het maximum, met een kans van 1 op 1250, waarmee nu gerekend wordt, is 16.000 m³. In 2100 wordt verwacht dat het maximum met dezelfde kans 17.000 m³ (of hoger) zal zijn. (Bron: Advies Deltacommissie, 2008).

Een dijkbeheerder kan de opdracht krijgen een dijk te ontwerpen. De eis is dat de dijk zo sterk wordt, dat het een waterstand kan weerstaan, waarvan de kans op voorkomen 1 op 100 is. Welke waterstand is dat in dit geval dan? Als we ervan uit gaan dat deze klok voldoende nauwkeurig is, dan kun je de waterstand aflezen door vanaf 0.01 een lijn te trekken en het tweede snijpunt levert je de waarde op. De 1 op 1000 of de 1 op 10.000 waarde is op deze manier niet meer vast te stellen.